https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1942/Nougaku_Aut

2020.05.13記

[1] $\Bigl(\dfrac{2}{1}\Bigr)^2 \gt \Bigl(\dfrac{3}{2}\Bigr)^3 \gt\Bigl(\dfrac{4}{3}\Bigr)^4 \gt\cdots\gt \Bigl(\dfrac{n+1}{n}\Bigr)^{n+1}$ ニシテ且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Bigl(\dfrac{n+1}{n}\Bigr)^{n+1}=e$
ナルコトヲ證セヨ．

2020.05.13記
前半をまず示す。これは有名な解法があって、

[解答]
$n\geqq 2$ のとき、

$1$ が $1$ 個と、 $\dfrac{n-1}{n}$ が $n$ 個の $n+1$ 個の正数についてAM-GM不等式を用いると、等号成立条件をみたさないので、 $\dfrac{n}{n+1}\gt \Bigl(\dfrac{n-1}{n}\Bigr)^{\frac{n}{n+1}}$ が成立する。よって、 $\Bigl(\dfrac{n}{n-1}\Bigr)^n>\Bigl(\dfrac{n+1}{n}\Bigr)^{n+1}$ が、 $n\geqq 2$ で成立する。

後半は、 $e$ の定義が何かによって証明が違ってくるのでどう答えて良いか難しいが、 $e$ の定義を $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)^{n}$ としておく。

$a_n=\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)^{n}$ ， $b_n=\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)^{n+1}$ とおくと、 $a_n \to e (n\to\infty)$ であり、 $\dfrac{b_n}{a_n}=1+\dfrac{1}{n} \to 1 (n\to\infty)$ であるから、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n =\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n =e$ となる。

ただ、この証明だと、前半が誘導にも何にもなっていないので、次のように説明しておく。

前半部から、 $b_n=\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)^{n+1}$ が単調減少な数列であることがわかる。

また、 $a_n=\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)^{n}$ とおくと、
$1$ が $1$ 個と、 $\dfrac{n+1}{n}$ が $n$ 個の $n+1$ 個の正数についてAM-GM不等式を用いると、等号成立条件をみたさないので、 $\dfrac{n+2}{n+1}\gt \Bigl(\dfrac{n+1}{n}\Bigr)^{\frac{n}{n+1}}$ が成立する。よって、 $a_{n+1}\gt a_n$ が、 $n\geqq 1$ で成立し、 $a_n$ は単調増加であることがわかる。

$a_n$ が単調増加列、 $b_n$ が単調減少列であり、 $\dfrac{b_n}{a_n}=1+\dfrac{1}{n}\gt 1$ から $a_n\gt b_n$ である。よって $a_n$ は上に有界、 $b_n$ は下に有界な単調列となるので、 $a_n$ は上限、 $b_n$ は下限に収束する。

$a_n$ の上界の1つを $c$ とすると $|b_n - a_n| = \dfrac{1}{n} c \to 0 (n\to\infty)$ となるので、 $a_n$ の上限と $b_n$ の下限は等しく、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n =\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$ が成り立つ（閉区間 $I_n=[a_n,\,b_n]$ について区間縮小法の原理）。