https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1942/Kougaku_Spr

2022.05.29記

[3] 方程式
$y=Axe^{-ax}\sin(bx+\varphi)$ ( $a\gt 0$ )
の表はす曲線に於て， $\varphi$ を變化させた場合の包絡線が， $x\geqq 0$ の部分に於いて圍む面積を求めよ．

本問のテーマ

包絡線

2022.05.29記
正弦の値が $\pm1$ のときに $y=\pm Ax\sin e^{-ax}$ に接することはすぐに理解できるだろう．

[解答]
$y=Axe^{-ax}\sin(bx+\varphi)$ を $\varphi$ で微分すると
$0=Axe^{-ax}\cos(bx+\varphi)$
となるので，2式から $\varphi$ を消去すると $y^2=A^2x^2e^{-2ax}$ となり，
$y=\pm Axe^{-ax}$
となるので，求める面積は
$2|A|\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-ax}dx$ $=2|A|\Bigl[-e^{-ax} \left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{1}{a^2}\right)\Bigr]_0^{\infty}$ $=\dfrac{2|A|}{a^2}$
となる．