https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1942/Kougaku_Spr

2022.05.29記

[2] 原點から楕圓 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の上の一點へ引いた直線と，その點に於いて外向きに引いた法線との間の角の最大値を求めよ．

2022.05.29記

[解答] $a\gt b\gt 0$ の場合について考える．

楕円上の点を $(a\cos\theta,b\sin\theta)$ とおくと，この点における接線の方向ベクトルは
$(-a\sin\theta,b\cos\theta)$ であるから，法線の方向ベクトルは　 $(b\cos\theta,a\sin\theta)$ となる．

これとベクトル $(a\cos\theta,b\sin\theta)$ のなす角度を $\varphi$ とすると
$\cos\varphi=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}}$
$=\dfrac{ab}{\sqrt{(a^2-b^2)\cos^2\theta+b^2}\sqrt{a^2-(a^2-b^2)\cos^2\theta}}(\gt 0)$
であるから，これが最小となるのは，分母の根号の中が $\cos^2\theta$ の2次関数になることに注意すると
$\cos^2\theta=\dfrac{1}{2}$
のときであり，その最小値は
$\cos\varphi=\dfrac{2ab}{a^2+b^2}$
であるから，求める角度の最大値は $\mbox{Arccos}\dfrac{2ab}{a^2+b^2}$ となる．

$b\gt a\gt 0$ の場合も同じ結果となる(結果が $a,b$ について対称なので)

このとき， $\sin\varphi=\dfrac{|a^2-b^2|}{a^2+b^2}$ ， $\tan\varphi=\dfrac{a^2-b^2}{2ab}$ であるから，
$\mbox{Arcsin}\dfrac{|a^2-b^2|}{a^2+b^2}$ や $\mbox{Arctan}\dfrac{|a^2-b^2|}{2ab}$ と答えても良い．