https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1942/Kougaku_Aut

曲線 $y=a-\dfrac{x^2}{2a}$ の上の一點 $\rm P$ に於いて原點と反對側に引いた法線の上に點 $\rm Q$ を採り， $\rm PQ$ の長さを $a$ に等しく採る場合に，點 $\rm Q$ の軌跡と $x$ 軸との間に包まれる部分の面積を求めよ，但し $a$ は正の實數とす。

2022.05.29記

[解答]
${\rm P}\left(t,a-\dfrac{t^2}{2a}\right)$ とおくと，法線の傾きは $\dfrac{a}{t}$ だから
$\vec{\rm OQ}=\vec{\rm OP}+\dfrac{a}{\sqrt{t^2+a^2}}\begin{pmatrix} t \\ a \end{pmatrix}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{t^2+a^2}}\begin{pmatrix} at+t\sqrt{t^2+a^2} \\ a^2+ \left(a-\dfrac{t^2}{2a}\right)\sqrt{t^2+a^2} \end{pmatrix}$
となる．ここで $t=a\tan\theta$ ( $-\dfrac{\pi}{2}\lt \theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ ) とおくと
$\cos\theta\gt 0$ だから， $\sqrt{t^2+a^2}=\dfrac{a}{\cos\theta}$ となることに注意すれば，
$\vec{\rm OQ}=a\begin{pmatrix} \sin\theta+\tan\theta \\ 1+\cos\theta-\dfrac{\tan^2\theta}{2} \end{pmatrix}$
となる．ここで $\rm Q$ の $y$ 座標が 0 となるのは
$1+\cos\theta-\dfrac{\tan^2\theta}{2}=0$
から
$2\cos^3\theta+3\cos^2\theta-1$ $=(2\cos\theta-1)(\cos\theta +1)^2=0$
を経て $\theta=\pm\dfrac{\pi}{3}$ のときであるから，求める面積は
$\displaystyle\int_{\theta=-\pi/3}^{\theta=\pi/3} y dx$
$=\displaystyle\int_{\theta=-\pi/3}^{\theta=\pi/3} \left(1+\cos\theta-\dfrac{\tan^2\theta}{2}\right)\left(\cos\theta + \dfrac{1}{\cos^2\theta}\right) d\theta$
$=\displaystyle\int_{0}^{\pi/3}\left(2\cos^2\theta +3\cos\theta+\dfrac{1}{\cos\theta}+\dfrac{3}{\cos^2\theta} -\dfrac{1}{\cos^4\theta} \right) d\theta$
$=\Bigl[ x+\dfrac{\sin 2x}{2}\Bigr]_{0}^{\pi/3}$ $+\Bigl[ 3\sin\theta\Bigr]_{0}^{\pi/3}$ $+\Bigl[ \dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\Bigr]_{0}^{\pi/3}$ $+\Bigl[ 3\tan\theta\Bigr]_{0}^{\pi/3}$ $-\Bigl[ \dfrac{1}{3}\tan^3\theta+\tan\theta\Bigr]_{0}^{\pi/3}$
$=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{11\sqrt{3}}{4}+\log(2+\sqrt{3})$

計算間違いしてそうだ．