https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1941/Rigaku

2022.06.01記

[3] 平面上ニ於ケル長サ [tex：\pi] ナル線分 $\rm AB$ 上ノ各點 [tex\rm P] ヲ中心トシ半徑ガ $\sin{\rm AP}$ ナル圓ヲ畫クトキ，コレ等ノ圓ニヨリテ掃過セラルル面積ヲ計算セヨ。

2022.06.01記

[解答]
${\rm A}(0,0)$ ， ${\rm B}(\pi,0)$ ， ${\rm A}(t,0)$ （ $0\leqq t\leqq \pi$ ）とするとき，円の方程式は
$(x-t)^2+y^2=\sin^2 t$
であるから，包絡線の方程式は，
$-2(x-t)=2\sin t\cos t$
と連立させて
$x=t-\sin t\cos t$ ， $y=\pm \sin^2 t$
とパラメータ表示されるので，求める面積は
$2\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2 t(1-\cos^2 t+\sin^2 t)\,dt$ $=2\displaystyle\int_0^{\pi} 2\sin^4 t\,dt$ $=8\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^4 t\,dt$ $=8\cdot\dfrac{3\pi}{16}=\dfrac{3\pi}{2}$

$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^4 t\,dt$ $=\dfrac{3\pi}{16}$ は Wallis の公式から．