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2022.06.01記

[3] 次の積分を求めよ。
(a) $\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{2\, dx}{4x^2+(x-1)^2}$

(b) $\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{\sin x\, dx}{\sqrt{1-2a\cos x+a^2}}$

2022.06.01記

[解答]
(a) $I=\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{2\, dx}{4x^2+(x-1)^2}$
$=\dfrac{2}{5}\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{\left(x-\dfrac{1}{5}\right)^2+\left(\dfrac{2}{5}\right)^2}$
$=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{5}{2}\Bigl[ \mbox{Arctan}\dfrac{5x-1}{2}\Bigr]_{-1}^1$
$=\mbox{Arctan} 2 -\mbox{Arctan} (-3)$
$=\mbox{Arctan} 2 +\mbox{Arctan} 3$
である．ここで
$\tan(\mbox{Arctan} 2 +\mbox{Arctan} 3)=\dfrac{2+3}{1-2\times 3}=-1$
であり， $0\lt \mbox{Arctan} 2 +\mbox{Arctan} 3\lt \pi$ であるから，
$I=\mbox{Arctan} 2 +\mbox{Arctan} 3＝\dfrac{3\pi}{4}$

(b) (i) $a=0$ のとき，
$\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\, dx=2$

(ii) $a\neq 0$ のとき，
$1-2a\cos x+a^2=t^2$ （ $t\geqq 0$ ）とおくと
$2a\sin x dx=2tdt$ であり，

$x$	$0$	$\nearrow$	$\pi$
$t^2$	$(1-a)^2$	$\nearrow$	$(1+a)^2$

であるから，
$\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{\sin x\, dx}{\sqrt{1-2a\cos x+a^2}}$ $=\dfrac{1}{a}\displaystyle\int_{|1-a|}^{|1+a|}\dfrac{t\, dt}{t}$ $=\dfrac{|1+a|-|1-a|}{a}$
$=\left\{\begin{array}{ll} -\dfrac{2}{a} & (a\lt -1) \\ 2 & (-1\leqq a\leqq 1) \\ \dfrac{2}{a} & (1\gt a) \end{array}\right.$