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方程式 $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0$ の根の二乗を根とする代数方程式を求めよ．

2019.03.04記

[解答]
方程式の根を $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ とすると、 $f(x)=a_0(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$ と因数分解できる。
求める方程式(の1つ)は $(-1)^na_0^2(x-\alpha_1^2)\cdots(x-\alpha_n^2)$ $=a_0^2(\sqrt{x}-\alpha_1)\cdots(\sqrt{x}-\alpha_n)(-\sqrt{x}-\alpha_1)\cdots(-\sqrt{x}-\alpha_n)$ $=f(-\sqrt{x})f(\sqrt{x})=0$ である。
より具体的に書くと
$\{(a_n+a_{n-2}x+a_{n-4}x^2+\cdots)+\sqrt{x}(a_{n-1}+a_{n-3}x+a_{n-5}x^2+\cdots)\}$
$\times\{(a_n+a_{n-2}x+a_{n-4}x^2+\cdots)-\sqrt{x}(a_{n-1}+a_{n-3}x+a_{n-5}x^2+\cdots)\}$
$=(a_n+a_{n-2}x+a_{n-4}x^2+\cdots)^2-x(a_{n-1}+a_{n-3}x+a_{n-5}x^2+\cdots)^2$
という $n$ 次式である。

なお、ここで0以外の複素数 $z$ の平方根は2つあり、そのどちらを $\sqrt{z}$ とするかは一般的には決まっていないが、どちらを $\sqrt{z}$ としても、もう一方は $-\sqrt{z}$ となるので、上記の議論における因数分解の $\sqrt{x}$ は、 $x$ が実数のときは表記が決まっているが、それ以外の場合は $x$ の平方根2つのうちのどちらか一方を適当に定めたものとする。