1941年(昭和16年)東京帝國大學醫學部醫學科-數學[2]

2022.06.01記

[2] 次ノ積分ヲ求ム。
$\displaystyle\int_0^1\dfrac{1+x^2}{\sqrt{1-x^2}}\, dx$

2022.06.01記

[解答]　広義積分であるから，
$I=\displaystyle\lim_{b\to 1}\int_0^b\dfrac{1+x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$
を計算する． $x=\sin\theta$ ， $b=\sin \beta$ ( $0\lt\beta\lt\dfrac{\pi}{2}$ )とおくと
$I=\displaystyle\lim_{\beta\to\frac{\pi}{2}}\int_0^\beta\dfrac{1+\sin^2\theta}{\cos\theta}\,(\cos\theta\, d\theta)$
$=\displaystyle\lim_{\beta\to\frac{\pi}{2}}\int_0^\beta(1+\sin^2\theta)\, d\theta$
$=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\sin^2\theta)\, d\theta$
$=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$

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