https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1940/Rigaku

2022.07.20記

[3] 直交軸ニ關シ圓 $x^2+(y-a)^2=r^2$ ヲ $x$ 軸ノ周リニ廻轉シテ生ズル圓環體の體積及表面積ヲ求ム．但 $a\gt r\gt 0$ トス．

本問のテーマ

パップス・ギュルダン(Pappus–Guldinus)の(第一)定理
パップス・ギュルダン(Pappus–Guldinus)の(第二)定理

2022.07.24記
もはや中学受験でも道具として使われるパップス・ギュルダンの第二定理．
パップス・ギュルダン(Pappus–Guldinus)の定理 - 球面倶楽部零八式 mark II

ここでは表面積に関する第一定理も用いる．

[大人の解答]
パップス・ギュルダンの定理により体積は $\pi r^2\times 2\pi a = 2\pi^2 ar^2$ ，表面積は $2\pi r\times 2\pi a = 4\pi^2 ar$ である．

[解答]
$f(x)=a+\sqrt{r^2-x^2}$ ， $g(x)=a-\sqrt{r^2-x^2}$ とする．

体積 $V$ は
$V= \displaystyle\int_{-r}^r \pi \left[ \left\{ f(x)\right\}^2-\left\{g(x)\right\}^2\right]dx$ $= \displaystyle\int_{-r}^r \pi \left\{ (a+\sqrt{r^2-x^2})^2-(a-\sqrt{r^2-x^2})^2\right\}dx$ $=4 a \pi \displaystyle\int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\, dx$ $=4 a \pi \times (半径 r の半円の面積)$ $=4 a \pi \times \dfrac{\pi r^2}{2}$ $=2a r^2\pi^2$
である．

表面積 $S$ は
$S= \displaystyle\int_{-r}^r 2\pi \left\{ f(x) \sqrt{1+\left\{f'(x)\right\}^2}+g(x)\sqrt{1+\left\{g'(x)\right\}^2}\right\} dx$
$= \displaystyle\int_{-r}^r 2\pi \left\{f(x)+g(x)\right\} \sqrt{1+\dfrac{x^2}{r^2-x^2}} dx$ $= 4a\pi \displaystyle\int_{-r}^r \dfrac{r}{\sqrt{r^2-x^2 }} dx$
であり， $x=r\sin\theta$ と置換すると $dx=r\cos\theta d\theta$ により
$S=4ar\pi \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta$ $=4ar\pi^2$
である．