1940年(昭和15年)東京帝國大學農學部-數學[4]

2022.07.20記

[4] 半圓ノ弧ヲ無數ニ等分シタル各分點ヨリソノ直徑ニ下ス垂線ノ平均値ヲ求メヨ．

2022.07.24記

[解答]
半円の半径を $r$ とする．
半円の弧を $n$ 等分したときの垂線の長さの平均を $f(n)$ とすると
$f(n)=\dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}r\sin\frac{k\pi}{n}$
であるから，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(n)=r\int_0^1 \sin(\pi x)\, dx$ $=\dfrac{2r}{\pi}$

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