https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1940/Igaku

2022.07.20記

[1] 直交軸ニ關シ $y^2=4px$ ナル抛物線アリ．其焦點ヲ通リテ $x$ 軸ニ直交スル直線ト該抛物線トノ交點ニ於テ抛物線ニ切スル圖ノ半徑ヲ求ム．

2022.07.24記
放物線の法線と軸の交点と，接点から軸へ下した垂線の足との距離は一定である．
$y=\dfrac{1}{4p}x^2$ 上の点 $(\alpha,\beta)$ における法線 $y-\beta=-\dfrac{2p}{\alpha}(x-\alpha)$ であり，これと $y$ 軸の交点の座標は $\beta+2p$ となり，頂点と焦点までの距離の2倍ずれることがわかる．

[大人の解答]
焦点の座標は $(p,0)$ であるから，焦点を通って $x$ 軸に垂直な直線と放物線の交点の座標は $(p,\pm 2p)$ となる．点 $(p,2p)$ を通る法線と $x$ 軸の交点は，頂点と焦点の距離 $p$ の2倍ずれて $(3p,0)$ となる．

よって求める円の半径は，中心 $(3p,0)$ と通る点 $(p,2p)$ との距離で $2\sqrt{2}p$

これを丁寧に書けば良い

[解答]

焦点の座標は $(p,0)$ だから，焦点を通って $x$ 軸に垂直な直線と放物線との交点の座標は $(p,\pm 2p)$ となる．点 $(p,2p)$ を通る接線は $2py=2p(x+p)$ ，つまり $y=x+p$ であるから，法線の傾きは $-1$ となり，
$y=-(x-p)+2p$
となる．よって円の中心の座標は，法線と $x$ 軸の交点 $(3p,0)$ となる．

よって求める円の半径は，中心 $(3p,0)$ と通る点 $(p,2p)$ との距離で $2\sqrt{2}p$