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2022.07.24記

[2] 三角形 ${\rm ABC}$ ノ邊 ${\rm AC}$ ， ${\rm CB}$ 上ニ夫々點 ${\rm P}$ ， ${\rm Q}$ ヲトリ ${\rm AP}:{\rm PC}={\rm CQ}:{\rm QB}$ ナラシムルトキ，直線 ${\rm PQ}$ ノ包絡線ハ何カ．

本問のテーマ

アフィン変換により包絡線は包絡線にうつる

2022.08.06記

[大人の解答]
${\rm AP}:{\rm PC}=(1-t):$ とおく．

${\rm C}\mapsto (0,0)$ ， ${\rm A}\mapsto (1,0)$ ， ${\rm B}\mapsto (0,1)$
なるアファイン変換によって
${\rm P}\mapsto (t,0)$ ， ${\rm Q}\mapsto (0,1-t)$
に移り，直線 $\rm PQ$ は
$(1-t)x+ty=t-t^2$
に移る．この直線の包絡線は，この式を $t$ で偏微分した
$-x+y=1-2t$
と連立させることにより，
$(x,y)=\left(t^2,(t-1)^2\right)$
を得る．このパラメータ表示は
$x+y=2t^2-2t+1$ ， $x-y=2t-1$ であるから，放物線 $(2t-1,2t^2-2t+1)$ を線形変換したものとなり，放物線である．

この放物線は $t=0$ で $\rm Q$ を通り，接ベクトルは $(0,-2)$ と $y$ 軸に平行となり， $t=1$ で $\rm P$ を通り，接ベクトルは $(-2,0)$ と $x$ 軸に平行となる．

以上から，求める包絡線は
「 $\rm A$ で辺 $\rm AC$ に接し， $\rm B$ で辺 $\rm BC$ に接する放物線」
となる．

なお， $(x,y)=\left(t^2,(t-1)^2\right)$ から
$0\leqq t\leqq 1$ のとき $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ となり，これが放物線となることは基本知識である．

直線 $\rm PQ$ の式を
$t^2-(1+x-y)t+x=0$
とみるとこれは $t$ の2次方程式であり，この場合，包絡線の式は判別式
$(1+x-y)^2-4x=0$
によって得られる．実際，これに $(x,y)=\left(t^2,(t-1)^2\right)$ を代入すればきちんと $t$ が消去されていることがわかる．

アフィン変換を用いずに解こうとすると，

${\rm A}(a,0)$ ， ${\rm B}(-b,0)$ ， ${\rm C}(0,c)$
とおき， ${\rm AP}:{\rm PC}=(1-t):t$ とおくと
${\rm P}(ta,(1-t)c)$ ， ${\rm Q}(-(1-t)b,tc)$
であるから，直線 $\rm PQ$ の方程式は
...
であり，これを $t$ の2次方程式とみることにより包絡線の式は
判別式を0とおいた
...
となる．

のように求めることができるが，ここで得られた一般の位置にある2次曲線が、「放物線」であり，「 $\rm A,B$ で三角形の辺に接する」ことを示すのは面倒であり，当時の解答では，「 $\rm A,B$ を通る放物線」であることは示していたが， $\rm A,B$ で接していない略図を載せているものもあった．