1939年(昭和14年)東京帝國大學農學部-數學[4]

2022.07.24記

[4] $\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x}dx$ ヲ求メヨ．

2022.08.07記

[解答]
$1-x=t^2$ とおくと $dx=-2tdt$ だから
$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x}dx$ $=\displaystyle\int_{1}^{0}(1-t^2)t(-2t)\,dt$ $=\displaystyle\int_{0}^{1}2(t^4-t^2)\,dt$ $=\Bigl[ \dfrac{2}{5}t^5-\dfrac{2}{3}t^3\Bigr]_0^1=\dfrac{4}{15}$

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