https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1939/Kougaku

2022.07.24記

[2] 直交軸 $xy$ に關し，次の方程式 $x=a\sin\theta，y=ae^{-p}\sin(\theta+p)$ は如何なる圖形を表はすか．但し $a$ ， $p$ は正の常數， $\theta$ は媒介變數とする．又その圖形の圍む面積は $p$ の値により如何に變化するか．

2022.08.06記

[解答]
$x=a\sin\theta$ ，
$y=ae^{-p}\cos p (\sin\theta) +ae^{-p}\sin p(\cos\theta)$
であるから， $(x,y)$ の描く図形は $XY$ 平面の円 $X^2+Y^2=1$ （ $(X,Y)=(\sin\theta,\cos\theta)$ ）を線形変換
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 0 \\ ae^{-p}\cos p & ae^{-p}\sin p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$
によって変換したものであり，この行列の行列式は $a^2e^{-p}\sin p$ であるから，

(i) $p\neq n\pi$ （ $n\in\mathbb{N}$ ）のとき，行列式が非零となり，楕円
(ii) $p=n\pi$ （ $n\in\mathbb{N}$ ）のとき，行列式が0となり，線分

である．楕円の囲む面積は行列式の絶対値倍されるので， $\pi a^2e^{-p}|\sin p|$ （線分のときは0）である．

ここで $f(p)=\pi a^2e^{-p}|\sin p|$ とおくと $p\neq n\pi$ のとき
$f'(p)=\pi a^2e^{-p}\left| \sin\left(p+\dfrac{3\pi}{4}\right)\right|$
であるから， $p=\dfrac{\pi}{4}+n\pi$ （ $n\in\mathbb{N}$ ）のとき極大となり
$p=n\pi$ （ $n\in\mathbb{N}$ ）のとき極小となる（線分となり面積0）．

当時の雑誌の解答では，線形代数を駆使することは難しかったようで

$p$ ガ $\pi$ ノ倍數ナルトキハ直線ヲ表ハシ，ソノ他ノ場合ニハ一ツノ自閉曲線ヲ表ハシ，…

となっている．それだけ線形代数の威力は凄まじい．

曲線で囲む面積も，当時は $\int ydx$ に従って求めていたが，現在では $\int (x'y-xy') d\theta$ を使うところであろうか．ただ，問題では $\int ydx$ が使い易いように $x=a\sin\theta$ と簡単に与えられている．