1938年(昭和13年)東京帝國大學農學部-數學[4]

2022.07.24記

[4] 曲線 $a^2y =x(x^2-a^2)$ ト直線 $y=0$ ニヨツテ圍マルル面積ヲ求メヨ．

2022.08.06記

[解答]
$a=0$ のときは曲線は $y$ 軸となり，これと $y=0$ によって囲まれる部分はない．

$a\neq 0$ のとき
$y=\dfrac{1}{a^2}(x^3-a^2x)=\dfrac{1}{a^2}(x+|a|)x(x-|a|)$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積は，この原点を通る3次関数が原点対称であることから
$2\displaystyle\int_0^{|a|}\dfrac{1}{a^2}(a^2x-x^3)\,dx$ $=\dfrac{2}{a^2}\Bigl[\dfrac{a^2x^2}{2}-\dfrac{x^4}{4}\Bigr]_0^{|a|}$ $=\dfrac{a^2}{2}$
となる．

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