https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1938/Kougaku

2022.07.24記

[4]（力學）粗なる机の上に物體 ${\rm A}$ を置き，これに附けた絲を水平に引いて机の端にある滑車に掛け，その端に物體 ${\rm B}$ を吊してある．滑車は水平軸の周りに自由に廻轉する半徑5cmの圓板で作つてある．これらの物體が静止の状態から運動を始めて 5sec の後物體 ${\rm B}$ が 245cm/sec の速度で落下した． ${\rm A}$ ， ${\rm B}$ 及び滑車の質量が夫々 50g，30g 及び80g であるとして，机と物體 ${\rm A}$ との間の摩擦係数，絲の張力及び圓板の廻轉加速度を求めよ．

滑車の質量が与えられているので滑車の角加速度に関する運動方程式が必要となるので，物体 $\rm A$ と糸の張力と物体 $\rm BA$ と糸の張力は異なる．

2025.01.30記

[解答]
物体 $\rm A$ の質量を $m_A$ ，糸との張力を $T_A$ ，物体 $\rm B$ の質量を $m_B$ ，糸との張力を $T_B$ とし，滑車の半径を $r$ ，質量を $M$ とし床と物体 $\rm A$ の動摩擦係数を $\mu$ とする．そして物体 $\rm A，B$ の速度を $v$ とする．このとき滑車の角速度は $\dfrac{v}{r}$ だから，

Aの運動方程式： $m_A\dot{v}=T_A-\mu m_A g$ …①
Bの運動方程式： $m_B\dot{v}=m_B g-T_B$ …②
滑車の運動方程式： $M\dfrac{r^2}{2}\cdot \dfrac{\dot{v}}{r}=(T_B-T_A)r$ …③

となる．① $+$ ②から $(m_A+m_B)\dot{v}=T_A-T_B+(m_B-\mu m_A) g$ ，③から $\dfrac{M}{2}\dot{v}=T_B-T_A$ であるから
$\dot{v}=\dfrac{2(m_B-\mu m_A)g}{M+2(m_A+m_B)}$ （一定）
となり動き出してからの時間を $t$ とすれば
$v=\dfrac{2(m_B-\mu m_A)gt}{M+2(m_A+m_B)}$
となる．与えられた値を代入すると（ $g=980[\mbox{cm}/\mbox{s}^2]$ とする）
$245[\mbox{cm}/\mbox{s}]=\dfrac{2(30-50\mu)\cdot 980\cdot 5}{80+2(50+30)}[\mbox{cm}/\mbox{s}]$
から $\mu=\dfrac{12}{25}=0.48$ となる．

よって $\dot{v}=49[\mbox{cm}/\mbox{s}]$ となり①②から
$T_A=50\cdot 49+0.48\cdot 50\cdot 980$ $=50\cdot 49+0.48\cdot 50\cdot 980$ $=25970[\mbox{dyn}]$ $=25.97[\mbox{N}]$
となり，
$T_B=m_B g - m_B\dot{v}=30\cdot(980-49)=27930[\mbox{dyn}]$ $=27.93[\mbox{N}]$
となる．また $\dfrac{\dot{v}}{r}=\dfrac{49}{5}=9.8[\mbox{rad}/\mbox{s}^2]$ となる．

以上から，
机と物体 ${\rm A}$ との間の動摩擦係数は $0.48$ ，
物体 ${\rm A}$ と糸との張力は $25.97[\mbox{N}]$ ，
物体 ${\rm B}$ と糸との張力は $27.93[\mbox{N}]$ ，
円板の角加速度は $9.8[\mbox{rad}/\mbox{s}^2]$
となる．