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1937年(昭和12年)東京帝國大學農學部-數學[4]

2022.08.11記

[4] \displaystyle\int\dfrac{dx}{x(x^2+a)^2}ヲ求メヨ.

2022.08.23記

[解答]
I=\displaystyle\int\dfrac{dx}{x(x^2+a)^2} とおくと
I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{2x\,dx}{x^2(x^2+a)^2}
だから,x^2=t と置換すると
I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{dt}{t(t+a)^2}
となる.

(i) a=0 のとき
I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{dt}{t^3}=-\dfrac{1}{4t^2}+(積分定数)=-\dfrac{1}{4x^4}+(積分定数)

(ii) a\neq 0 のとき
I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{dt}{t(t+a)^2}
=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{a^2}\cdot\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{a^2}\cdot\dfrac{1}{t+a}-\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{(t+a)^2}\right)dt
=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a^2}\log|t|-\dfrac{1}{a^2}\log|t+a|+\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{t+a}\right)+(積分定数)
=\dfrac{1}{2a^2}\log\left|\dfrac{t}{t+a}\right|+\dfrac{1}{2a(t+a)}+(積分定数)
=\dfrac{1}{2a^2}\log\left|\dfrac{x^2}{x^2+a}\right|+\dfrac{1}{2a(x^2+a)}+(積分定数)




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