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1937年(昭和12年)東京帝國大學農學部-數學[2]

2022.08.11記

[2] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^n}{e^x}$ ヲ求ム．

2022.08.23記
$n$ は自然数のつもりな気もするが，一応， $n$ を実数として考えておく．

[解答]
(i) $n\lt 0$ のとき， $m=-n$ とおくと $m\gt 0$ で
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^n}{e^x}$ $=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^me^x}=0$

(ii) $n\gt 0$ のとき、 $N-1\leqq n\lt N$ をみたす自然数 $N$ が存在し， $x\gt 1$ に対して $x^n\leqq x^N$ が成立する．

$(e^x)''=e^x\gt 0$ より $y=e^x$ は下に凸であり， $y=e^x$ の $x=0$ における接線の方程式が $y=x+1$ であることから
$e^x\gt x\gt 0$ が $x\gt 0$ に対して成立する．

$x$ を $\dfrac{1}{N+1}$ に置き換えて $N+1$ 乗すると
$e^x\gt \dfrac{x^{N+1}}{(N+1)^{N+1}}$ が $x\gt 0$ に対して成立する．

よって $x\gt 1$ で
$0\lt\dfrac{x^n}{e^x} \lt\dfrac{x^N}{e^x} \lt \dfrac{(N+1)^{N+1}}{x}$
が成立し， $x\to+\infty$ で両辺とも0に収束するので，はさみうちの原理から
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^n}{e^x}=0$

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