1937年(昭和12年)東京帝國大學醫學部醫學科-數學[2]

2022.08.11記

[2] 次ノ展開式ニ於ケル $c_n$ ノ値ヲ求ム．
$\dfrac{1}{1+x-2x^2}=1-x+3x^2+\cdots+c_nx^n+\cdots$

2022.08.23記

[解答]
$\dfrac{1}{1+x-2x^2}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{1-x}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{1+2x}$
であるから，一般二項定理により $x^n$ の係数である $c_n$ は
$c_n={}_{-1}\mbox{C}_{n}$ $\left(\dfrac{1}{3}\cdot (-1)^n+\dfrac{2}{3}\cdot 2^n\right)$ $=\dfrac{(-1)\cdot(-2)\cdots(-n)}{n!}\cdot\dfrac{(-1)^n+2^{n+1}}{3}$ $=(-1)^n\cdot\dfrac{(-1)^n+2^{n+1}}{3}$ $=\dfrac{1-(-2)^{n+1}}{3}$

■ 収束半径は $\dfrac{1}{1+2x}$ の収束半径なので $|x|\lt\dfrac{1}{2}$ となる．

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