https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1936/Rigaku

2022.08.11記

[3] $n$ ガ正ノ整數ナルトキ，積分 $\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}t^n\, dt$ ヲ計算シ，ソノ値ハ $\Bigl(\dfrac{n}{2}+1\Bigr)^{n-1}$ ヨリモ大ナラザルコトヲ證明セヨ．

本問のテーマ

ガンマ関数

2023.09.03記

ガンマ関数

実部が正となる複素数 $z$ に対して
$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^{z-1}e^{-t}\, dt$
をガンマ関数と呼ぶ．
$\Gamma(z+1)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^{z}e^{-t}\, dt$ $=\Bigl[t^z(-e^{t})\Bigr]_0^{\infty}+z\displaystyle\int_0^{\infty} t^{z-1}e^{-t}\, dt$ $=0+z\Gamma(z)$ $=z\Gamma(z)$
が成立する．

[解答]
$n$ を正の整数または0とし， $I_n=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}t^n\, dt$ とおく．
$I_0=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-t}\, dt$ $=\Bigl[-e^{t}\Bigr]_0^{\infty}=1$
であり，
$I_{n}=\displaystyle\int_0^{\infty} t^{n}e^{-t}\, dt$ $=\Bigl[t^n(-e^{t})\Bigr]_0^{\infty}+n\displaystyle\int_0^{\infty} t^{n-1}e^{-t}\,dt$ $=0+nI_{n-1}$ $=nI_{n-1}$
であるから，帰納的に $I_n=n!$ （ $n$ を正の整数または0）が成立する．

AM-GM 不等式より $\left\{\dfrac{k+(n+1-k)}{2}\right\}^2 \geqq k(n+1-k)$ だから
$k=2,\ldots,n$ としたものをすべて掛けあわせると
$\left\{\dfrac{k+(n+1-k)}{2}\right\}^{2(n-1)} \geqq \displaystyle\prod_{k=2}^{n} k^2=(n!)^2$
となり
$n!\leqq \Bigl(\dfrac{n}{2}+1\Bigr)^{n-1}$
が導かれ，題意は示された．

本問からわかるようにガンマ関数は階乗を一般化したものである．定義の積分は実部が正でないといけないが， $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ を利用すると
$\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)\cdot\Gamma\left(-\dfrac{3}{2}\right)$
から
$\Gamma\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{4}{3}\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)$ （ $=\dfrac{4\sqrt{\pi}}{3}$ ）
のように積分が収束しない範囲に対しても関数の値を定義することができる（解析接続）．