https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1936/Nougaku

2022.08.11記

[6] 直角座標ニ於ケル式 $\dfrac{x+y\dfrac{dy}{dx}}{x\dfrac{dy}{dx}-y}$ ヲ極座標ニ變換セヨ．

[6] 直交座標における曲線 $y=y(x)$ が極座標で $r=r(\theta)$ と表されているとき， $\dfrac{x+y\dfrac{dy}{dx}}{x\dfrac{dy}{dx}-y}$ を $\dfrac{dr}{d\theta}$ で表せ．

2025.01.05記

[解答]
$x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$
とおくと
$\dfrac{dx}{d\theta}=(\cos\theta)\dfrac{dr}{d\theta}-r\sin\theta$ ， $\dfrac{dy}{d\theta}=(\sin\theta)\dfrac{dr}{d\theta}+r\cos\theta$
であるから
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}=\dfrac{(\sin\theta)\dfrac{dr}{d\theta}+r\cos\theta}{(\cos\theta)\dfrac{dr}{d\theta}-r\sin\theta}$
となるので，
$\dfrac{x+y\dfrac{dy}{dx}}{x\dfrac{dy}{dx}-y}$ $=\dfrac{r\cos\theta+r\sin\theta\left\{\dfrac{(\sin\theta)\dfrac{dr}{d\theta}+r\cos\theta}{(\cos\theta)\dfrac{dr}{d\theta}-r\sin\theta}\right\}}{r\cos\theta\left\{\dfrac{(\sin\theta)\dfrac{dr}{d\theta}+r\cos\theta}{(\cos\theta)\dfrac{dr}{d\theta}-r\sin\theta}\right\}-r\sin\theta}$ $=\dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{dr}{d\theta}$
となる．