https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1936/Nougaku

2022.08.11記

[4] 展開式ヲ用ヒ $\sqrt[3]{3}$ ヲ小數第七位マデ計算セヨ．

本問のテーマ

一般二項定理

2025.01.05記
計算機では Newton 法により
$x^3-3=0$ から漸化式 $3a_n^2(a_{n+1}-a_n)+a_n^3-3=0$ ，すなわち　 $a_{n+1}=\dfrac{3+2a_n^3}{3a_n^2}$ が得られるので逐次計算していけば良いが，分子分母の大きい有理数の計算となりがちなので手計算には向かない．

$3n^3\approx 10^{k}$ なる $n，k$ を探す． $3，24，81，192，375，648，1029，…$ から $3\cdot 7^3=1029\approx 10^3$ という関係式が得られる（なお， $\sqrt[3]{3}$ の連分数展開は
$1$ ， $1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$ ， $1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{10}{7}$ ， $1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{1}}}=\dfrac{13}{9}，…$ となる．最終的に小数計算をするので， $\dfrac{10}{7}$ を採用するのが吉）．

$\sqrt[3]{3}$ $=\dfrac{10}{7}\left(1+\dfrac{29}{1000}\right)^{1/3}$ $=\dfrac{10}{7}\left\{1+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{29}{1000}\right.$ $-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1\cdot 2}{3^2}\cdot\left(\dfrac{29}{1000}\right)^2$ $+\dfrac{1}{3!}\cdot \dfrac{1\cdot 2\cdot 5}{3^3}\cdot\left(\dfrac{29}{1000}\right)^3$ $\left.-\dfrac{1}{4!}\cdot \dfrac{1\cdot 2\cdot 5\cdot 8}{3^4}\cdot (1+c)^{-11/3}\cdot\left(\dfrac{29}{1000}\right)^4\right\}$
となる．ここで
$\dfrac{10}{7}\left\{1+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{29}{1000}\right.$ $-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1\cdot 2}{3^2}\cdot\left(\dfrac{29}{1000}\right)^2$ $\left.+\dfrac{1}{3!}\cdot \dfrac{1\cdot 2\cdot 5}{3^3}\cdot\left(\dfrac{29}{1000}\right)^3\right\}$ $=\dfrac{1}{7\cdot 81 \cdot 10^8}\left\{81\cdot 10^9+27\cdot 29\cdot 10^6- 9\cdot 29\cdot 29\cdot 10^3+5\cdot 29\cdot 29\cdot 29\right\}$ $=\dfrac{81775552945}{567}\times 10^{-8}$ $=1.44224961.10\cdots$
であり，剰余項 $R$ は
$|R|$ $=\dfrac{10}{7}\left|\dfrac{1}{4!}\cdot \dfrac{1\cdot 2\cdot 5\cdot 8}{3^4}\cdot (1+c)^{-11/3}\cdot\left(\dfrac{29}{1000}\right)^4\right|$ $\lt\dfrac{10}{7}\cdot\dfrac{1}{4!}\cdot \dfrac{1\cdot 2\cdot 5\cdot 8}{3^4}\cdot\left(\dfrac{3}{100}\right)^4$
$=\dfrac{1}{2.1}\cdot 10^{-7}\lt 5\cdot 10^{-7}$
であるから
$1.44224956\lt \sqrt[3]{3}\lt 1.44224967$
となり， $\sqrt[3]{3}$ の小数第7位は定まらないが
$\sqrt[3]{3}\approx 1.4422496$
となる．

[解答]
$\sqrt[3]{3}$ $=\dfrac{10}{7}\left(1+\dfrac{29}{1000}\right)^{1/3}$ $=\dfrac{10}{7}\left\{1+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{29}{1000}\right.$ $-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1\cdot 2}{3^2}\cdot\left(\dfrac{29}{1000}\right)^2$ $+\dfrac{1}{3!}\cdot \dfrac{1\cdot 2\cdot 5}{3^3}\cdot\left(\dfrac{29}{1000}\right)^3$ $-\dfrac{1}{4!}\cdot \dfrac{1\cdot 2\cdot 5\cdot 8}{3^4}\cdot\left(\dfrac{29}{1000}\right)^4$ $\left.+\dfrac{1}{5!}\cdot \dfrac{1\cdot 2\cdot 5\cdot 8\cdot 11}{3^5}\cdot (1+c)^{-14/3}\cdot\left(\dfrac{29}{1000}\right)^5\right\}$
となる．ここで
$\dfrac{10}{7}\left\{1+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{29}{1000}\right.$ $-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1\cdot 2}{3^2}\cdot\left(\dfrac{29}{1000}\right)^2$ $+\dfrac{1}{3!}\cdot \dfrac{1\cdot 2\cdot 5}{3^3}\cdot\left(\dfrac{29}{1000}\right)^3$ $\left.-\dfrac{1}{4!}\cdot \dfrac{1\cdot 2\cdot 5\cdot 8}{3^4}\cdot\left(\dfrac{29}{1000}\right)^4\right\}$
$=\dfrac{1}{7\cdot 243 \cdot 10^{10}}\left\{243\cdot 10^{11}+81\cdot 29\cdot 10^8- 27\cdot 29\cdot 29\cdot 10^5+15\cdot 29\cdot 29\cdot 29\cdot 10^2-29^4\right\}$

$=\dfrac{24532665176219}{1701}\times 10^{-10}$ $=1.4422495694\cdots$
であり，剰余項 $R$ は
$|R|$ $=\dfrac{10}{7}\left|\dfrac{1}{5!}\cdot \dfrac{1\cdot 2\cdot 5\cdot 8\cdot 11}{3^5}\cdot (1+c)^{-14/3}\cdot\left(\dfrac{29}{1000}\right)^5\right|$ $\lt\dfrac{10}{7}\cdot\dfrac{1}{5!}\cdot \dfrac{1\cdot 2\cdot 5\cdot 8\cdot 11}{3^5}\cdot\left(\dfrac{3}{100}\right)^5$
$=\dfrac{22}{3}\cdot 10^{-9}\lt 8\cdot 10^{-9}$
であるから
$1.442249561\lt\sqrt[3]{3}\lt 1.442249568$
となり， $\sqrt[3]{3}=1.44224956\cdot$ であるから，
$\sqrt[3]{3}$ を小数第7位まで求めると $1.4422495$ となる．

$\sqrt[3]{3}\approx 1.442249570\cdots$ となる．