https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1936/Nougaku

2022.08.11記

[3] 連續函數 $f(x)$ ガ一點 $x=a$ ニ於テ極大又ハ極小ナル爲必要ナル條件ヲ述ベ且之ヲ證明セヨ．

2025.01.05記
$f(x)$ が $x=a$ において（狭義に）極大，極小であることの定義は

ある正の実数 $\delta$ が存在して，

(1) $0\lt |x-a| \lt \delta$ において $f(x)\lt f(a)$ が成り立つとき， $f(x)$ は $x=a$ で極大，

(2) $0\lt |x-a| \lt \delta$ において $f(x)\gt f(a)$ が成り立つとき， $f(x)$ は $x=a$ で極小

という．

というものであり， $f(x)$ が $x=a$ の近傍で連続であるときも同じ条件となり，条件が定義そのものとなるので問題になっていない．そこで $f(x)$ が $x=a$ の近傍で微分可能であるという条件をつけることにする．

[解答]
$f(x)$ が $x=a$ の近くにおいて微分可能であるという条件を加える．

このとき，求める条件は「(1) $f(a)$ が極大値となるためには $f'(a)=0$ かつ $x=a$ の前後で $f'(x)$ が正から負へと符号を変える必要があり，(1) $f(a)$ が極小値となるためには $f'(a)=0$ かつ $x=a$ の前後で $f'(x)$ が負から正へと符号を変える必要がある」となる．

証明：
(1) $f(a)$ が極大値となるためには
$x$ が $a$ に十分近く $x\neq a$ のとき， $f(x)-f(a)\lt 0$ が成立することであり，このとき

$x\lt a$ ならば， $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\gt 0$ の $x\to a$ の極限から $f'(a)\geqq 0$ が必要であり，平均値の定理から
$f'(c)\gt 0$ （ $x\lt c\lt a$ ）となる．

同様に

$x\gt a$ ならば， $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\lt 0$ の $x\to a$ の極限から $f'(a)\leqq 0$ が必要であり，平均値の定理から
$f'(c)\lt 0$ （ $x\lt c\lt a$ ）となる．

よって $f'(a)=0$ かつ「 $x$ が $a$ に十分近く $x\lt a$ のとき， $f'(x)\gt 0$ であり， $x$ が $a$ に十分近く $x\gt a$ のとき， $f'(x)\lt 0$ であることが必要である．

(2) も同様である．

なお，

(1) $x\lt a$ ならば $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c)\gt 0$ （ $x\lt c\lt a$ ）から $f(x)\lt f(a)$ となり， $x\gt a$ ならば $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c)\lt 0$ （ $x\lt c\lt a$ ）から $f(x)\lt f(a)$ となるので十分である．

(2) も同様である．