https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1936/Kougaku

2022.08.11記

[3] 次ノ積分ヲ計算セヨ．

(a) $\displaystyle\int\dfrac{x^2\,dx}{x^4- 2x^3+2x^2-2x+1}$

(b) $\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{a}}x^3e^{ax}\,dx$

2025.01.03記

[解答]
(a) $x^4- 2x^3+2x^2-2x+1=(x-1)^2(x^2+1)$ に注意すると
$\displaystyle\int\dfrac{x^2\,dx}{x^4- 2x^3+2x^2-2x+1}$
$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \left\{ \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}-\dfrac{x}{x^2+1}\right\} \, dx$
$=\dfrac{1}{2}\log |x-1| -\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{4}\log (x^2+1)+(積分定数)$

(b) $a=0$ のとき：
$\dfrac{1}{a}\to+\infty$ ， $\dfrac{1}{a}\to-\infty$ のいずれかとなるが， $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}x^3\,dx=\int_{0}^{-\infty}x^3\,dx=+\infty$
となり，いずれの場合も $+\infty$ に発散する．

$a\neq 0$ のとき：
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{a}}x^3e^{ax}\,dx$ $=\dfrac{1}{a^4}\displaystyle\int_{0}^{1}t^3e^{t}\,dt$ （ $t=ax$ ）
$=\dfrac{1}{a^4}\Bigl[ (t^3-3t^2+6t-6)e^t \Bigr]_{0}^{1}$ $=\dfrac{6-2e}{a^4}$
となる．