https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1936/Kougaku

2022.08.11記

[2] 曲線 $y=mx^3$ 上ノ任意ノ一點 $\mbox{P}$ ヨリ $x$ 軸及ビ $y$ 軸に下セル垂線ヲ夫々 $\mbox{P}\mbox{M}$ 及ビ $\mbox{P}\mbox{N}$ トスルトキ， $\rm MN$ ノ包線（envelope）ヲ求メヨ．

本問のテーマ

包絡線

2025.01.03記
包線は包絡線のこと

[解答]
$\mbox{P}(t，mt^3)$ とおくと $\mbox{M}(t，0)$ ， $\mbox{N}(0，mt^3)$ であるから， $t\neq 0$ のとき $\rm M\neq N$ である．

(i) $m=0$ のとき：
直線 $\rm MN$ は常に $x$ 軸であるから包絡線は考えない（強いて言えば， $x$ 軸が包絡線）

(ii) $m\neq 0$ のとき：
直線 $\rm MN$ の方程式は　 $mt^2x+y=mt^3$ であるから，包絡線は直線 $\rm MN$ の方程式と $2mtx=3mt^2$ ，すなわち $2x=3t$ を連立させて得られる
$y=-\dfrac{4m}{27}x^3$
となる．