https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1936/Igaku

2022.08.11記

[1] 楕圓ノ焦點半徑ヲ直徑トスル圓ト長軸ヲ直徑トスル圓トハ相切スルコトヲ證明セヨ．

[1] 楕円上の点と焦点を直径の両端とする円と，楕円の長軸を直径とする円とは互いに接することを証明せよ．

2025.01.03記
焦点半径という言葉は始めて聞いたのだが，「楕円上の点と焦点を直径の両端とする円と，楕円の長軸を直径とする円とは互いに接することを証明せよ．」という問題を意味するようだ．

[解答]
楕円の中心を $\rm O$ ，楕円の焦点を $\mbox{F}，\mbox{F}'$ とし，楕円上の点を $\rm P$ とし， $\rm PF$ の中点を $\rm C$ とし， $\rm PF$ を直径とする円と $\rm OC$ の交点を $\rm Q$ とすると，
$\rm OQ$
$\rm =OC+CQ$
$\rm =\dfrac{\mbox{PF}'}{2}+\dfrac{\mbox{PF}}{2}$
$=(長軸の半分の長さ)$
であるから， $\rm Q$ は楕円の長軸を直径とする円上にある．

ここで $\rm Q$ における $\rm PF$ を直径とする円の接線と楕円の長軸を直径とする円の接線はいずれも $\rm OQ$ に垂直であるから一致し，よって楕円上の点と焦点を直径の両端とする円と，楕円の長軸を直径とする円とは互いに接する．

座標だと次のようになる．

[解答]
楕円を $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $0\lt b\lt a$ ）とおき， $c=\sqrt{a^2-b^2}$ とおく．

楕円上の点を $\mbox{P}(p，q)$ とおくと楕円上の点と焦点 $(c，0)$ を直径とする円の方程式は
$(x-p)(x-c)+(y-q)y=0$
である．この円と $x^2+y^2=a^2$ の交点は，
$x^2+y^2=a^2$ と $(p+c)x+qy=a^2+pc$
の交点となるが，原点と $(p+c)x+qy=a^2+pc$ との距離の2乗は
$\dfrac{(a^2+pc)^2}{(p+c)^2+q^2}$ $=\dfrac{(a^2+pc)^2}{(p+c)^2+b^2-\dfrac{b^2p^2}{a^2}}$ （∵ $\dfrac{p^2}{a^2}+\dfrac{q^2}{b^2}=1$ ）
$=\dfrac{(a^2+pc)^2}{(p+c)^2+a^2-c^2-\dfrac{(a^2-c^2)p^2}{a^2}}$ （∵ $b^2=a^2-c^2$ ）
$=\dfrac{(a^2+pc)^2}{2pc+a^2+\dfrac{p^2c^2}{a^2}}$ $=a^2$
であるから，原点と $(p+c)x+qy=a^2+pc$ との距離は $a$ となり，よって
$(x-p)(x-c)+(y-q)y=0$
は $x^2+y^2=a^2$ に接する．