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1935年(昭和10年)東京帝國大學理學部-數學[2]

[2] 中心 $\rm O$ なる定円に於て定点 $\rm P$ を過る弦 $\rm AB$ を引くとき三角形 $\rm AOB$ の面積の極大値及び極小値如何．

2019.04.04記
最大、最小ではなく極大、極小を求めることに注意。

[解答]
円を $x^2+y^2=1$ とし $P(0,p)$ （ $p\gt 0$ ）とする。 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ （ $x_1\lt x_2$ ）とおくと、 $\triangle AOB=\dfrac{1}{2}p(x_2-x_1)$ である。
直線 $AB$ の式を $y=mx+p$ とおくと、 $x_1,x_2$ は2次方程式 $x^2+(mx+p)^2-1=(m^2+1)x^2+2mpx+p^2-1=0$ の2解である。
よって $(x_2-x_1)^2=\dfrac{4(m^2-p^2+1)}{(m^2+1)^2}$ となる。

$f(m)=\dfrac{m^2-p^2+1}{(m^2+1)^2}$ とおくと、 $f'(m)=\dfrac{2m(2p^2-m^2-1)}{(m^2+1)^3}$ であるから、
$f'(m)=0$ となるのは $m=0，\pm\sqrt{2p^2-1}$ である（後者は $p\geqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のときのみ）

よって、

$p=0$ のとき、三角形の面積は定数 $0$ により、極大、極小はない。

$0\lt p\leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、極大は $m=0$ のときの $p\sqrt{1-p^2}$ で極小は $m=\infty$ のときの $0$

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\lt p\leqq 1$ のとき、極大は $m=\pm\sqrt{2p^2-1}$ のときの $\dfrac{1}{2}$ 、極小は $m=0$ のときの $p\sqrt{1-p^2}$ 及び $m=\infty$ のときの $0$

$p\gt 1$ のとき、極大は $m=\pm\sqrt{2p^2-1}$ のときの $\dfrac{1}{2}$ 、極小は $m=\infty$ のときの $0$

となる。なお、 $p\gt 1$ のとき、 $m$ の定義域は、 $m\leqq -\sqrt{p^2-1}，\sqrt{p^2-1}\leqq m$ となり、定義域の端点で最小値0をとるが、一般には極大極小は定義域の内点で考えるので、極小ではない。

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