https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1935/Kougaku

[1] $f(x)=ax^3+bx^2+c$ ノ表ハス曲線ガ點 $(1,1)$ デ反曲點ヲ有シ，且ツ方程式 $f(x)=0$ ガ三個ノ實根ヲ有スル為ニハ $a，b，c$ ハ如何ナル關係ヲ滿足スベキカ．但シ $a，b，c$ ハ實數トス．

2019.04.04記
3次方程式 $f(x)=0$ が相異なる3つの実根をもつ必要十分条件は「極大値と極小値が存在し，その積が負となる」ことである。

[解答]
変曲点が $(1,1)$ であるから $f(x)=a(x-1)^3+3K(x-1)+1$ と書き直せる。このとき $b=-3a$ ， $3a+3K=0$ ， $-a-3K+1=c$ であるから， $K=-a$ ， $c=2a+1$ であり， $f(x)=a(x-1)^3-3a(x-1)+1$ である。
$f'(x)=3a(x-1)^2-3a=0$ から $x=0$ ， $2$ となるので $f(0)f(2)=(2a+1)(1-2a)\lt 0$ ，つまり $|\,a\,|\gt\dfrac{1}{2}$ となる。
よって求める条件は $|\,a\,|\gt\dfrac{1}{2}$ ， $b=-3a$ ， $c=2a+1$