https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1935/Igaku

2022.08.10記

[2] $x$ ガ第一位ノ無限小ナルトキ，次式ガ第三位ノ無限小ナル樣ニ， $a$ ， $b$ ノ値ヲ定メヨ．
$e^x-\dfrac{1+ax}{1+bx}$
（但シ $e$ ハ自然対数ノ底ナリ．）

本問のテーマ

Padé 近似

2022.08.10記
これは $e^x$ の $[1/1]$ 次 Padé 近似を求める問題である．

[解答]
$e^x-\dfrac{1+ax}{1+bx}=\dfrac{(b-a+1)x+\dfrac{2b+1}{2}x^2+\dfrac{3b+1}{6}x^3+o(x^4)}{1+bx}$
となるので， $a=\dfrac{1}{2}$ ， $b=-\dfrac{1}{2}$ のとき
$e^x-\dfrac{1+(1/2)x}{1-(1/2)x}=\dfrac{-\dfrac{1}{12}x^3+o(x^4)}{1-(1/2)x}=-\dfrac{1}{12}x^3+o(x^4)$
となり，第三位の無限小となる．

■ $e^x$ の Padé 近似の結果については
Wikipedia のパデ近似
パデ近似 - Wikipedia
に詳しい．