https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1935/Igaku

2022.08.10記

[1] 相交ハル二直線ヨリ，夫々定マレル長サノ弦ヲ截リ取ル如キ圓ノ中心ノ軌跡ハ何カ．

2022.08.10記

[解答]
2直線を $px+qy=0$ ， $px-qy=0$ （ $p,q\gt 0$ ）とし，それぞれの直線から切りとる弦の長さを $2a$ ， $2b$ （ $a,b\gt 0$ ）とする．

円の中心を $(X,Y)$ とし，その半径を $r$ とするとき，点と直線の距離の公式とピタゴラスの定理により
$r^2-a^2=\dfrac{(pX+qY)^2}{p^2+q^2}$ ， $r^2-b^2=\dfrac{(pX-qY)^2}{p^2+q^2}$
が成立するので， $r$ を消去して
$\dfrac{(pX+qY)^2}{p^2+q^2}-\dfrac{(pX-qY)^2}{p^2+q^2}=b^2-a^2$ ，
つまり
$XY=\dfrac{(b^2-a^2)(p^2+q^2)}{4pq}$
が成立する．よって

(i) $a\neq b$ のとき，直角双曲線

(ii) $a=b$ のとき，直交する二直線

■ $XY=\dfrac{(b^2-a^2)(p^2+q^2)}{4pq}$ をみたす任意の $(X,Y)$ に対して
$r=\sqrt{\dfrac{(pX+qY)^2}{p^2+q^2}+a^2}$ $=\sqrt{\dfrac{(pX-qY)^2}{p^2+q^2}+b^2}$
をみたす $r$ が存在するので，求める軌跡は
$XY=\dfrac{(b^2-a^2)(p^2+q^2)}{4pq}$
全体を動くことがわかる．

■ 当時の解答では，「直角双曲線」を単なる「双曲線」または「直交する二直線」を単なる「直線」としているものがあった．