https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1934/Rigaku

2020.04.19記

[2] $x$ ガ 0 ナザル實數ナルトキハ常ニ
$\cos x\gt 1-\dfrac{x^2}{2}$
ナルコトヲ證明セヨ．

2020.04.12記

[解答]
$t\gt 0$ のとき $f(t)=t-\sin t$ は， $f(0)=0$ ， $f'(t)\geqq 0$ ， $f'(0)\neq 0$ をみたすので
$f(t)=\displaystyle\int_0^t f'(x)dx\gt 0$ が $t\gt 0$ で成り立つ．

よって， $t\neq 0$ のとき $|\sin t|\lt |t|$ が成立し， $x\neq 0$ のとき $1- \cos x =2\sin^2\dfrac{x}{2} \lt 2 \left| \dfrac{x}{2} \right|^2=\dfrac{x^2}{2}$ となる．

よって $x\neq 0$ のとき $\cos x \gt 1-\dfrac{x^2}{2}$