https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1934/Nougaku

2022.08.10記

[1] $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{\theta-\sin^{-1}\theta}{\sin^3\theta}$
ヲ求メヨ．

2022.08.11記

[解答]
一般二項定理より，
$\dfrac{1}{\sqrt{1-\theta^2}}$ $=1+\dfrac{1}{2}\theta^2+o(\theta^4)$
となり， $|\theta|\lt 1$ で収束するので，この範囲で項別積分して
$\sin^{-1}\theta=\theta+\dfrac{1}{6}\theta^3+o(\theta^5)$
となる．よって求める極限は
$\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{-\dfrac{1}{6}\theta^3+o(\theta^5)}{\sin^3\theta}$ $=-\dfrac{1}{6}$
となる．

■ ロピタルの定理を無計画に使うと、分母を3回微分しなければ分母の極限が有限確定値にならないことから，面倒になることがわかる．

■ $\sin(\sin^{-1}\theta)=\theta$ で $\sin^{-1}\theta=\theta+a\theta^2+b\theta^3+o(\theta^4)$
とおくと $\sin x=x-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^5)$
$\theta=\theta+a\theta^2+b\theta^3-\dfrac{1}{6}\theta^3+o(\theta^4)$
となり， $a=0,b=\dfrac{1}{6}$ となることがわかる．