https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1934/Kougaku

2022.08.10記

[3] 次ノ二平面
$a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ ， $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$
ノ交線ト，二點 $(x_1,y_1,z_1)$ ， $(x_2,y_2,z_2)$ トガ同一平面上ニアルタメノ絛件ヲ求メヨ．

本問のテーマ

平面束

2022.08.11記

[解答]
$a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ ， $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ の交線を通る平面は
$p(a_1x+b_1y+c_1z+d_1)+q(a_2x+b_2y+c_2z+d_2)=0$ （ $p^2+q^2\neq0$ ）
の形をしており，この平面上に2点 $(x_1,y_1,z_1)$ ， $(x_2,y_2,z_2)$ がある条件は
$p(a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1+d_1)+q(a_2x_1+b_2y_1+c_2z_1+d_2)=0$ ，
$p(a_1x_2+b_1y_2+c_1z_2+d_1)+q(a_2x_2+b_2y_2+c_2z_2+d_2)=0$
となることであるから，このような $p,q$ （ $p^2+q^2\neq0$ ）が存在する条件は
$(a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1+d_1):(a_2x_1+b_2y_1+c_2z_1+d_2)$ $=(a_1x_2+b_1y_2+c_1z_2+d_1):(a_2x_2+b_2y_2+c_2z_2+d_2)$ ，
つまり
$(a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1+d_1)(a_2x_2+b_2y_2+c_2z_2+d_2)$
$=(a_1x_2+b_1y_2+c_1z_2+d_1)(a_2x_1+b_2y_1+c_2z_1+d_2)$
となることである．