1933年(昭和8年)東京帝國大學理學部-數學[3]

2022.08.10記

[3] $\displaystyle\int_0^{\infty}|\sin x|e^{-x}dx$ ヲ求ム．

2022.08.11記

[解答]
$\displaystyle\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}|\sin x|e^{-x}dx$
は $x=(n-1)\pi+t$ と置換すると
$=e^{-(n-1)\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\sin t|e^{-t}dt$
$=e^{-(n-1)\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}e^{-t}\sin t dt$
$=e^{-(n-1)\pi}\Bigl[ \dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-t}\sin\left(t-\dfrac{3}{4}\pi\right)\Bigr]_0^{\pi}$
$=e^{-(n-1)\pi}\dfrac{e^{-\pi}+1}{2}$
であるから，求める値は
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} e^{-(n-1)\pi}\dfrac{e^{-\pi}+1}{2}$ $=\dfrac{e^{-\pi}+1}{2}\cdot\dfrac{1}{1-e^{-\pi}}$ $=\dfrac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})}$

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