https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1933/Rigaku

2022.08.10記

[2] 直交軸ニ關シ抛物線 $y^2=4dx$ ト其焦點ヲ過ル任意ノ直線トニテ圍マレタル部分ノ面積ヲ計算シ，且ツソノ最小値ヲ索メヨ．

2022.08.11記
自分で設定する．

[解答]
焦点 $(d,0)$ を通る直線を $x=my+d$ とおく．直線と放物線との2交点を $y=\alpha,\beta$ とすると，
$y^2-4dmy-4d^2=0$ の2解が $y=\alpha,\beta$ だから
$(\beta-\alpha)^2=16d^2(m^2+1)$
が成立するので，囲まれる面積は $\dfrac{1}{6}$ 公式から
$\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{4d}\cdot 64d^3(m^2+1)^{3/2}$ $=\dfrac{8d^2}{3}(m^2+1)^{3/2}$
となる．これが最小となるのは $m=0$ のときで，最小値は $\dfrac{8d^2}{3}$