https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1933/Rigaku

2022.08.10記

[1] 次ノ行列式ノ値ヲ積ノ形ニテ表ハセ．
$\left| \begin{array}{lll} \cos(a-b) & \cos(b-c) & \cos(c-a) \\ \cos(a+b) & \cos(b+c) & \cos(c+a) \\ \sin(a+b) & \sin(b+c) & \sin(c+a) \end{array} \right|$

2022.08.11記

[解答]
$D=\left| \begin{array}{lll} \cos(a-b) & \cos(b-c) & \cos(c-a) \\ \cos(a+b) & \cos(b+c) & \cos(c+a) \\ \sin(a+b) & \sin(b+c) & \sin(c+a) \end{array} \right|$
$=\cos(a-b)\{\cos(b+c)\sin(c+a)-\sin(b+c)\cos(c+a)\}$
$-\cos(b-c)\{\cos(a+b)\sin(c+a)-\sin(a+b)\cos(c+a)\}$
$+\cos(c-a)\{\cos(a+b)\sin(b+c)-\sin(a+b)\cos(b+c)\}$
$=\cos(a-b)\sin(a-b)$ $+\cos(b-c)\sin(b-c)$ $+\cos(c-a)\sin(c-a)$
$=\dfrac{1}{2}\{\sin(2a-2b)+\sin(2b-2c)\}+\cos(c-a)\sin(c-a)$
$=\sin(a-c)\cos(a+c-2b)+\cos(c-a)\sin(c-a)$
$=\sin(a-c)\{\cos(a+c-2b)-\cos(c-a)\}$
$=-2\sin(a-c)\sin(c-b)\sin(a-b)$
$=-2\sin(a-b)\sin(b-c)\sin(c-a)$