https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1933/Igaku

2022.08.10記

[2] 直交軸ニ關シ $\dfrac{x^2}{k^2+1}+\dfrac{y^2}{k^2}=1$ ナル方程式ニテ表ハサルル曲線群アリ．ソノ各ニ $x$ 軸ト $45^{\circ}$ ノ角ヲナス切線ヲ引クトキソノ切點ノ軌跡如何．

2022.08.11記

[解答]
$k\gt 0$ として良い．

$\dfrac{x^2}{k^2+1}+\dfrac{y^2}{k^2}=1$ 上の点
$(X,Y)=\left(\sqrt{k^2+1}\cos\theta,k\sin\theta\right)$
における接線の方程式は
$\dfrac{x\cos\theta}{\sqrt{k^2+1}}+\dfrac{y\sin\theta}{k}=1$
であるから，これが $x$ 軸と $45^{\circ}$ の角度をなすとき
$\dfrac{\cos\theta}{\sqrt{k^2+1}}=\pm \dfrac{\sin\theta}{k}$
が成立する．このとき
$\cos\theta=\pm\dfrac{\sqrt{k^2+1}}{\sqrt{2k^2+1}}$ ， $\sin\theta=\pm\dfrac{k}{\sqrt{2k^2+1}}$
であるから，
$(X,Y)=\left(\pm \dfrac{k^2+1}{\sqrt{2k^2+1}},\pm \dfrac{k^2}{\sqrt{2k^2+1}}\right)$ (複号任意)
となる．ここで
$(X^2,Y^2)=\left(\dfrac{k^4+2k^2+1}{2k^2+1},\dfrac{k^4}{2k^2+1}\right)$
であるから， $X^2-Y^2=1$ が成立し，よって求める軌跡は直角双曲線 $X^2-Y^2=1$ となる．