https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1931/Rigaku

2022.08.08記

[3] $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ノ中心ヨリ其ノ切線ニ下セル垂線ノ足ノ軌跡ヲ表ハス方程式ヲ作リ且此ノ曲線ノ包圍スル面積ヲ索メヨ．

本問のテーマ

（楕円の中心からの）垂足曲線
ヒッポペード(Hippopede)

2022.08.10記

[解答]
$ab\neq 0$ である．

楕円上の点 $(a\cos\theta,b\sin\theta)$ における接線の方程式は $\dfrac{\cos\theta}{a}x+\dfrac{\sin\theta}{b}y=1$ つまり
$(b\cos\theta)x+(a\sin\theta)y=ab$ …①
であるから，原点から接線へ下した垂線の式は $(a\sin\theta)x-(b\cos\theta)y=0$ …② となる．

①②より $\begin{pmatrix} bx & ay \\ -by & ax \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} ab \\ 0 \end{pmatrix}$ が成立し， $\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} =\dfrac{1}{x^2+y^2}\begin{pmatrix} ax \\ by \end{pmatrix}$
となるので，求める軌跡の方程式は
$\dfrac{a^2x^2+b^2y^2}{(x^2+y^2)^2}=1$ ，
つまり
$(x^2+y^2)^2=a^2x^2+b^2y^2$ （ $x^2+y^2\neq 0$ ）
となる．

この軌跡の極形式は $x=r\cos\varphi,y=r\sin\varphi$ とおくと
$r^4=a^2r^2\cos^2\varphi+b^2r^2\sin^2\varphi$ （ $r\neq 0$ ），
つまり
$r^2=a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi$
であるから，
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2\varphi\,d\varphi=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2\varphi\,d\varphi=\dfrac{\pi}{4}$ を用いると，求める面積は，
$4\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{r^2}{2}\,d\varphi=\dfrac{\pi}{2}(a^2+b^2)$
となる．

■ 求めた軌跡のグラフは

のようになり，この曲線は Hippopede (馬)

■ $x\times$ ① $-y\times$ ②， $y\times$ ① $+x\times$ ②から
$(x^2+y^2)\cos\theta =ax$ ， $(x^2+y^2)\sin\theta =by$
となるので，求める軌跡の方程式は
$(x^2+y^2)^2=a^2x^2+b^2y^2$
とすると， $x^2+y^2\neq 0$ を忘れがちで，軌跡に原点が含まれてしまう．

■ $(x,y)=\left(\dfrac{ab^2\cos\theta}{b^2 \cos^2\theta+a^2\sin^2\theta},\dfrac{a^2b\sin\theta}{b^2 \cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}\right)$
としてから $\theta$ を消去するのは遠回りである．「ある $\theta$ が存在して，①かつ②をみたすような $(x,y)$ の集合」が軌跡の方程式だから，この2式から直接 $\theta$ を消去した方が無駄がない．