https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1930/Rigaku

2025.01.01記

[3] 方程式 $x^2+(y-a)^2=2a^2$ ノ表ハス圓ノ横軸ノ一方ニアル優弧ガ横軸ヲ軸トシテ一廻轉シテ生ズル曲面ノ包圍スル體積ヲ索メヨ．

本問のテーマ

扇形の重心
パップス・ギュルダン(Pappus–Guldinus)の(第二)定理

2025.01.01記

[解答]
$a\geqq 0$ として良い．

ここで $\displaystyle\int \sqrt{2a^2-x^2}\,dx$ は $x=\sqrt{2}a\sin\theta$ と置換すると
$2a^2\displaystyle\int \cos^2\theta\,d\theta$ $=2a^2\left(\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\sin2\theta}{4}\right)+(積分定数)$
となることに注意すると，
$\dfrac{V}{2\pi}=\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}a}\left( a+\sqrt{2a^2-x^2}\right)^2\, dx-\displaystyle\int_a^{\sqrt{2}a}\left( a-\sqrt{2a^2-x^2}\right)^2\, dx$
$=\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}a}\left( 3a^2-x^2+2a\sqrt{2a^2-x^2}\right)\, dx-\displaystyle\int_a^{\sqrt{2}a}\left( 3a^2-x^2 -2a\sqrt{2a^2-x^2}\right)\, dx$
$=\displaystyle\int_0^{a}(3a^2-x^2)\, dx$ $+2a\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}a}\sqrt{2a^2-x^2}\, dx$ $+2a\displaystyle\int_a^{\sqrt{2}a}\sqrt{2a^2-x^2}\, dx$
$=\Bigl[3a^2x-\dfrac{x^3}{3}\Bigr]_0^{a}$ $+4a^3\Bigl[\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\sin2\theta}{4}\Bigr]_0^{\pi/2}$ $+4a^3\Bigl[\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\sin2\theta}{4}\Bigr]_{\pi/4}^{\pi/2}$
$=\dfrac{8}{3}a^3+\pi a^3+\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)a^3$
$=\left(\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{5}{3}\right)a^3$
となり，
$V=\dfrac{9\pi+10}{3}\,a^3\pi$
となる．

もちろん， $\displaystyle\int \sqrt{2a^2-x^2}\,dx$ の部分を弓形から三角形を除く形で求めても良い．

[別解]
$a\geqq 0$ として良い．

$\dfrac{V}{2\pi}=\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}a}\left( a+\sqrt{2a^2-x^2}\right)^2\, dx-\displaystyle\int_a^{\sqrt{2}a}\left( a-\sqrt{2a^2-x^2}\right)^2\, dx$
$=\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}a}\left( 3a^2-x^2+2a\sqrt{2a^2-x^2}\right)\, dx-\displaystyle\int_a^{\sqrt{2}a}\left( 3a^2-x^2 -2a\sqrt{2a^2-x^2}\right)\, dx$
$=\displaystyle\int_0^{a}(3a^2-x^2)\, dx$ $+2a\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}a}\sqrt{2a^2-x^2}\, dx$ $+2a\displaystyle\int_a^{\sqrt{2}a}\sqrt{2a^2-x^2}\, dx$
$=\dfrac{8}{3}a^2$
$+2a\cdot(半径\sqrt{2}aの四分円)+2a\cdot \dfrac{1}{2}(半径\sqrt{2}a，中心角90度の弓形)$
$=\dfrac{8}{3}a^2$ $+2a\cdot\dfrac{\pi a^2}{2}+2a\cdot \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi a^2}{2} - a^2\right)$
$=\dfrac{8}{3}a^3+\pi a^3+\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)a^3$
$=\left(\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{5}{3}\right)a^3$
となり，
$V=\dfrac{9\pi+10}{3}\,a^3\pi$
となる．

2025.02.13記
扇形の重心 - 球面倶楽部零八式 mark II
を利用すると Pappus-Guldin が使える．

[大人の解答]
優弧からなる扇型を回転させてできる立体の体積と直角2等辺三角形を回転させてできる立体の体積の和となる．

直角2等辺三角形を回転させてできる立体の体積は $\dfrac{1}{3} \pi a^2\cdot 2a = \dfrac{2}{3}\pi a^3$ である．

優弧からなる扇形の中心角を $2\theta$ とすると， $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ であるから優弧からなる扇型の面積は $\dfrac{3\pi a^2}{2}$ であり，円の中心と扇形の重心の距離は $\dfrac{2}{3}\sqrt{2}a\cdot\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{3\pi}{4}}$ $=\dfrac{8a}{9\pi}$ であるから扇形の重心の $y$ 座標は $a+\dfrac{8a}{9\pi}$ である．よって優弧からなる扇型を回転させてできる立体の体積は Pappus-Guldin の定理により
$2\pi\left(a+\dfrac{8a}{9\pi}\right)\cdot\dfrac{3\pi a^2}{2}$ $=3\pi^2 a^3 + \dfrac{8}{3}\pi a^3$
となる．

よって求める体積は
$\dfrac{2}{3}\pi a^3$ $+3\pi^2 a^3 + \dfrac{8}{3}\pi a^3$ $=3\pi^2 a^3 + \dfrac{10}{3}\pi a^3$
となる．

方程式 $x^2+y^2=R^2$ の表す円を $x=R\cos\theta$ （ $0\leqq\theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ ）を軸として回転させてできる立体の体積を求めよ．

であれば，
$\dfrac{2}{3} \pi R^3\cos^2\theta\sin\theta$ $+2\pi\left(R\cos\theta+\dfrac{2R\sin(\pi-\theta)}{3(\pi-\theta)}\right)$ $\cdot\dfrac{1}{2} R^2(2\pi-2\theta)$
$=\dfrac{2}{3}\pi R^3 \{ (2+\cos^2\theta)\sin\theta+3(\pi-\theta)\cos\theta\}$
となる．

これは $0\leqq\theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ について単調減少となることは意味的に明らかであるが確認しておく．

$f(\theta)=(2+\cos^2\theta)\sin\theta+3(\pi-\theta)\cos\theta$
とおくと
$f'(\theta)=-2\cos\theta\sin^2\theta+(2+\cos^2\theta)\cos\theta-3\cos\theta-3(\pi-\theta)\sin\theta$
$=-2\cos\theta\sin^2\theta-\sin^2\theta\cos\theta-3(\pi-\theta)\sin\theta$
は $\sin\theta，\cos\theta，\pi-\theta\gt 0$ より負となる．