https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1930/Nougaku

2025.01.01記

[4] $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^5}}$ ヲ求メヨ．

2025.01.01記
最初にあたった文献では「 $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^5}}$ ヲ求メヨ．」となっていたが，この積分は初等的にはできないので誤植もしくは無限級数表示で表すことになるかと考えていたが，別の文献では「 $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ ヲ求メヨ．」と普通の問題になっていた（2と5を間違えるのはさもありなん）．

[4] $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ ヲ求メヨ．

[解答]
$x=\sin\theta$ と置くと
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int\,d\theta=\theta+(積分定数)$
であるから，
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\mbox{Arcsin}\, x+(積分定数)$
となる．

2025.01.03記
元の問題を無限級数表示した解答は次のようになる．

[解答]
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^5}}$ $=\displaystyle\int (1-x^5)^{-\frac{1}{2}}\,dx$ $=\displaystyle\int \sum_{n=0}^{\infty} {}_{-\frac{1}{2}}\mbox{C}_n x^{5n}\, dx$
となる．この無限級数は $|x|\lt 1$ で絶対収束し，このとき項別積分ができ，
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \int {}_{-\frac{1}{2}}\mbox{C}_n x^{5n}\, dx$ $=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{{}_{-\frac{1}{2}}\mbox{C}_n}{5n+1} x^{5n+1}+(積分定数)$ $=x+\dfrac{1}{12}x^6+\dfrac{3}{88}x^{11}+\dfrac{5}{256}x^{16}+\cdots+(積分定数)$
となる．

個人的には，「 $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ ヲ求メヨ．」と普通の問題を出題しようと思っていたのだが，間違えて $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^5}}$ と組まれていたことに気付かず出題してしまったのだと思う．