1930年(昭和5年)東京帝國大學農學部-數學[3]

2025.01.01記

[3] $\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-ax}x^n dx$ ヲ求メヨ．（但シ $n$ ハ正ノ整數ナリ）

2025.01.01記

[解答]
$a\leqq 0$ のとき積分は $+\infty$ に発散する．

$a\gt 0$ のとき：
$I_n=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-ax}x^n dx$ とおく．
$I_n=\Bigl[ -\dfrac{e^{-ax}x^n}{a}\Bigr]_0^{\infty}+\dfrac{n}{a}I_{n-1}=\dfrac{n}{a}I_{n-1}$
であり， $I_0$ に相当する
$I_0=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-ax} dx=\dfrac{1}{a}$
であるから，
$I_n=\dfrac{n!}{a^{n+1}}$
となる．

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