https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1930/Nougaku

2025.01.01記

[2] 一邊ノ長サ $30$ 糎ノ正方形ノ厚紙ノ四隅ヨリ相等シキ小正方形ヲ切リ取リ残リノモノヲ折リ曲ゲテ箱ヲ作リ其内容ヲ最大ナラシムル爲ニハ小正方形ノ一邊ヲ幾何トナスベキカ．

2025.01.01記

[解答]
切りとる正方形の一辺を $x$ 糎（ $0\lt x\lt 15$ ）とすると，箱の体積 $V$ 立方糎は
$V=x(30-2x)^2=4x^3-120x^2+900x$
となる． $\dfrac{dV}{dx}=12(x-5)(x-15)$ であり，増減から $x=5$ で極大かつ最大となる．よって小正方形の一辺の長さを $5$ 糎とすれば良い．

AM-GM 不等式より
$60^3=\{4x + (30-2x) + (30-2x)\}^3\geqq 27\cdot 4V$
となるので， $V$ は $x=5$ で最大値 $2000$ をとる．