https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1930/Nougaku

2025.01.01記

[1] 一般ナル二次方程式ガ central loci（有心軌跡）ヲ表ハス條件ヲ記セ．

[1] 一般の2次曲線が有心である条件を記せ．

2025.01.01記

[解答]
2次曲線を
$ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
とおく．この2次曲線が点 $(p，q)$ に関して対称となるような点 $(p，q)$ が存在すれば有心である．この点が原点となるように平行移動する，つまり $X=x-p$ ， $Y=y-q$ とおくと平行移動後の2次曲線の式は
$a(X+p)^2+2b(X+p)(Y+q)+c(Y+q)^2+d(X+p)+e(Y+q)+f=0$
となるが，これが原点対称となる必要十分条件は， $X，Y$ の1次の項
$2ap+2bq+d=0$ ， $2cq+2bp+e=0$
が共に0となることであり，このような $p，q$ が存在するためには連立方程式
$\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -d/2 \\ -e/2\end{pmatrix}$
が解を持てば良く，その必要十分条件は
$ac-b^2=0$
である．

対称の中心は $\begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix}=-\dfrac{1}{2(ac-b^2)}\begin{pmatrix} c & -b \\ -b & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d \\ e\end{pmatrix}$ となる．