https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1930/Kougaku

2025.01.01記

[3] 直角座標軸によって次の式：
$x=a\cos^3 \theta，y=a\sin^3 \theta$ （ $a$ は常數）
の表はす曲線の略圖を描き，且つ原點より此の曲線上の任意の點に至る距離の極大値及び極小値を求めよ．

本問のテーマ

2025.01.01記

[解答]
（図示略）

図形の対称性より $0\leqq\theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で考える．
$r(\theta)=x^2+y^2=a^2(\cos^6\theta+\sin^6\theta)$ とおくと，
$r'(\theta)=6a^2(\cos^5\theta-\sin^5\theta)$
であるから $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ で極小かつ最小となり最小値は $\sqrt{r(\pi/4)}=\dfrac{a}{2}$ ．
$\theta=0，\dfrac{\pi}{2}$ で最大値 $a$ をとる．

答． $\theta=\dfrac{n\pi}{2}$ （ $n\in\mathbb{Z}$ ）で最大値 $a$ ，
$\theta=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{n\pi}{2}$ （ $n\in\mathbb{Z}$ ）で最小値 $\dfrac{a}{2}$
をとる．