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2025.01.01記

[2] $x$ の値が小なるときに $y=\dfrac{1}{e}(1+x)^{\frac{1}{x}}$ の値を近似的に計算する公式を作り， $x=\dfrac{1}{100}$ の場合に應用して $y$ の値を小数點以下四桁まで計算せよ．

2025.01.01記
$x$ が小さいとき， $(1+x)^{\frac{1}{x}}\approx e$ であるから， $y$ はほぼ1となることが予想できる．

[解答]
$f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}}$ とおくと，
$\log f(x)=\dfrac{\log (x+1)}{x}=1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3}+o(x^3)$
であるから，
$f(x)=\exp\left(1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3}+o(x^3)\right)$
となる．よって $f(0)=e$ ．
$f'(x)=\exp\left(1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3}+o(x^3)\right)$ $\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2x}{3}+o(x^2)\right)$
により
$f'(0)=-\dfrac{e}{2}$ ．
$f''(x)=\exp\left(1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3}+o(x^3)\right)$ $\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2x}{3}+o(x^2)\right)^2$ $+\exp\left(1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3}+o(x^3)\right)$ $\cdot\left(\dfrac{2}{3}+o(x^2)\right)$
により
$f''(0)=\dfrac{e}{4}+\dfrac{2e}{3}=\dfrac{11e}{12}$
となるので，
$f(x)=e-\dfrac{e}{2}x+\dfrac{11e}{24}x^2+o(x^3)$
が成立し，
$y=1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{11}{24}x^2+o(x^3)$
となる． $x=0.01$ を代入して $y\approx 0.9950$ となる．

通常，平均値の定理を用いて $x^3$ の部分を剰余項で表して評価するところではあるが，このような複雑な形で評価を行うのは大変なので誤差の評価は行わなかった（誤差の評価は後述）．
$1-\dfrac{1}{200}=0.995$
$1-\dfrac{1}{200}+\dfrac{11}{240000}=0.9950458\dot{3}$
で小数第4位まで一致しているので，ここまでの近似で十分であると判断した．

ちなみに $\dfrac{1}{e}1.01^{100}=0.9950454…$ となる．

一応評価を考えると
$g(x)=\exp\left(1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3}\right)$ に対して，
$\log f(x)$ と $\log g(x)$ との誤差は剰余項
$-\dfrac{1}{4(1+\theta x)}x^3$
から
$0\lt \log g(x) - \log f(x) \lt \dfrac{x^3}{4}$ で抑えられるので，
$1 \lt \dfrac{g(x)}{f(x)}=e^\frac{x^3}{4}=1+\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{x^6}{32}+\cdots$
となり， $x=\dfrac{1}{100}$ ならば
$1 \lt \dfrac{g(x)}{f(x)}=e^\frac{x^3}{4}=1.00000025000003125\cdots$
となり， $f(x)\approx e$ であるから，3で評価しても誤差は
$0.0000008$
で抑えられる，つまり
$f(x)\lt g(x)\lt f(x)+0.0000008$
と評価できる．次に $g(x)$ と $e\left(1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{11}{24}x^2\right)$ の誤差は，次の項の係の絶対値はおそらく1より小さいので $x^3=0.000001$ 程度で評価できることから，
$f(x)$ と $e\left(1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{11}{24}x^2\right)$ の誤差は，
$0.0000008+0.000001$ $=0.0000018$
で抑えられることが期待でき(実際にはきちんと計算していないので)，
$y$ の計算誤差は，これを $e$ で割って $=0.000001=10^{-6}$ 以下となることが期待できる．
実際，
$0.9950458\dot{3}$ と $0.9950454…$ との誤差は $0.0000005=5\times 10^{-7}$ 程度であり確かに $10^{-6}$ を下回っている．