https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1930/Igaku

2025.01.01記

[2] 平面上ニ於ケル二ツノ定點 $\mbox{A}(-a，0)$ 及ビ $\mbox{B}(a，0)$ ヨリ點 $\mbox{P}(x，y)$ ニ到ル距離ヲ夫レ夫レ $r_1$ ， $r_2$ トシ， $r_1r_2=a^2$ ニテ表ハサレタル曲線ヲ畫キ且此ノ曲線ガ包圍スル面積ヲ索メヨ．

本問のテーマ

ベルヌーイのレムニスケート

ベルヌーイのレムニスケート - Wikipedia

では $r^2=a^2\cos2\theta$ とあるが， $r^2=2a^2\cos2\theta$ の間違いで Wikipedia の記述は $r^2=2a^2\cos2\theta$ に対するものとなっている（2025.01.21時点）．

2025.01.01記

[解答]
$r_1=\sqrt{(x+a)^2+y^2}$ ， $r_2=\sqrt{(x-a)^2+y^2}$
だから
$r_1r_2=a^2$
を整理して
$(x^2+y^2+a^2)^2-(2ax)^2=a^4$
となる． $x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ と極表示を行うと
$(r^2+a^2)^2-4a^2r^2\cos^2\theta=a^4$
となり
$r^2(r^2-2a^2\cos 2\theta)=0$
となる．よって $r=0$ または $r^2=2a^2\cos 2\theta$ となるが，後者は $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ で $r=0$ となるので，曲線の極方程式は $r^2=2a^2\cos 2\theta$ となる．この曲線は $x$ 軸対称， $y$ 軸対称，原点対称であるから，第一象限の部分だけ考えれば， $(r，\theta)=\left(0，\sqrt{2}a\right)$ ， $(r，\theta)=\left(\dfrac{\pi}{12}，\sqrt[4]{3}a\right)$ ， $(r，\theta)=\left(\dfrac{\pi}{8}，\sqrt[4]{2}a\right)$ ， $(r，\theta)=\left(\dfrac{\pi}{6}，a\right)$ ， $(r，\theta)=\left(\dfrac{\pi}{4}，0\right)$
を繋げば良く，よって求める曲線の概形は次図．

囲まれる面積は，
$4\displaystyle\int_0^{\pi/4} \dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$ $=4a^2\displaystyle\int_0^{\pi/4} \cos 2\theta\,d\theta$ $=2a^2$
となる．