https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1929/Nougaku

2022.09.01記

[4] Cycloid（擺線）： $x=a(t-\sin t)$ ， $y=a(1-\cos t)$ ノRoll circle（轉圓）ガ一回轉シタルトキノ曲線ト $x$ 軸トノ間ノ面積ヲ求メヨ．

2025.01.01記

[解答]
$0\leqq t\leqq 2\pi$ で考えれば良く，この範囲で $x$ は単調増加， $y$ は非負であるから求める面積 $S$ は
$S=\displaystyle\int_0^{2\pi} y(t) x'(t)\, dt$
$=a^2 \displaystyle\int_0^{2\pi} (1-\cos t)^2\, dt$
$=a^2 \displaystyle\int_0^{2\pi} (1-2\cos t+\cos^2 t)\, dt$
（ここで 1929年(昭和4年)東京帝國大學農學部-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR をヒントだと思うと）
$=a^2 \Bigl[ t-2\sin t+\dfrac{t}{2}+\dfrac{\sin 2t}{4} \Bigr]_0^{2\pi}$
$=a^2 \cdot \dfrac{3}{2}\cdot 2\pi$ $=3\pi a^2$
となる．

[別解]
（途中から）
$S=a^2 \displaystyle\int_0^{2\pi} (1-\cos t)^2\, dt$ $=a^2 \displaystyle\int_0^{2\pi} 4\sin^4\dfrac{t}{2}\, dt$ $=a^2 \displaystyle\int_0^{\pi} 4\sin^4 u\, (2du)$ （ $t=2u$ ）
$=16 a^2 \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^4 u\, du$ $=16 a^2 \cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}$ (Wallis 積分)
$=3\pi a^2$
となる．