https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1929/Kougaku

2025.01.01記
[3] は最初にあたった文献では「 $\displaystyle\int\dfrac{\cos\theta(p+\sin\theta)}{\cos^2\theta-p\sin\theta}\,d\theta$ ヲ計算セヨ．」となっていたが，別の文献では「 $\displaystyle\int\dfrac{\cos\theta(p+\sin\theta)}{\cos^2\theta-2p\sin\theta}\,d\theta$ ヲ計算セヨ．」となっていた．後者の方が素直な問題なので，差替えた．差替前は 1929年(昭和4年)東京帝國大學工學部-數學[3]（差替前） - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 参照

[3] $\displaystyle\int\dfrac{\cos\theta(p+\sin\theta)}{\cos^2\theta-2p\sin\theta}\,d\theta$ ヲ計算セヨ．

2025.01.01記

[解答]
$u=\cos^2\theta-2p\sin\theta$ とおくと $du=(-2\cos\theta\sin\theta+2p\cos\theta)\,d\theta$ により
$I=\displaystyle\int\dfrac{\cos\theta(p+\sin\theta)}{\cos^2\theta-2p\sin\theta}\,d\theta$
$=-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{du}{u}$
$=-\dfrac{1}{2}\log| \cos^2\theta-2p\sin\theta |+(積分定数)$

[解答]
$t=\sin\theta$ とおくと $dt=\cos\theta\,d\theta$ により
$I=\displaystyle\int\dfrac{\cos\theta(p+\sin\theta)}{\cos^2\theta-2p\sin\theta}\,d\theta$ $=\displaystyle\int\dfrac{p+t}{1-t^2-2pt}\, dt$ $=-\dfrac{1}{2}\log |1-t^2-2pt|$ $=-\dfrac{1}{2}\log| \cos^2\theta-2p\sin\theta |+(積分定数)$