https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1928/Rigaku

2022.08.31記

[3] 弓形ノ弧ノ長サガ一定ナルトキ其ノ面積ノ變動ヲ吟味セヨ．

2024.12.31記

[解答]
円の半径を $r$ ，弧の長さを $l$ ，中心角を $\theta$ （ $0\lt \theta\lt 2\pi$ ），弓形の面積を $S$ とすると
$l=r\theta$ ， $S=\dfrac{r^2(\theta-\sin\theta)}{2}$
であるから
$S=\dfrac{l^2(\theta-\sin\theta)}{2\theta^2}$
となる．
$\dfrac{dS}{d\theta}=\dfrac{l^2(-\theta-\theta\cos\theta+2\sin\theta)}{2\theta^3}$ $=\dfrac{4l^2\cos^2\dfrac{\theta}{2}}{2\theta^3}$ $\left(\tan\dfrac{\theta}{2}-\dfrac{\theta}{2}\right)$
であり， $0\lt\theta\lt\pi$ で $\tan\dfrac{\theta}{2}\gt \dfrac{\theta}{2}$ ，
$\pi\lt \theta\lt 2\pi$ で $\tan\dfrac{\theta}{2}\lt 0\lt \dfrac{\theta}{2}$ であるから
$\dfrac{dS}{d\theta}=0$ となるのは， $\cos\dfrac{\theta}{2}=0$ となる $\theta=\pi$ のときのみである．

よって増減表は次表．