https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1928/Nougaku

2022.08.31記

[4] $\displaystyle\int\dfrac{dx}{x(x^2+1)^2}$ ヲ求メヨ．

2025.01.01記

[解答]
$x=\tan\theta$ とおくと
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x(x^2+1)^2}$ $=\displaystyle\int\dfrac{\cos^3\theta}{\sin\theta}\,d\theta$ $=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{\sin\theta}-\sin\theta\right)\,d\theta$ $=\dfrac{1}{2}\log (\sin^2\theta)-\dfrac{\sin^2\theta}{2}+C$
となるが， $\sin^2\theta=\dfrac{x^2}{1+x^2}$ であるから
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x(x^2+1)^2}$ $=\dfrac{1}{2}\left(\log \dfrac{x^2}{1+x^2}-\dfrac{x^2}{1+x^2}\right)+C$
（ $C$ は積分定数）となる．

[解答]
$x^2=t$ とおくと
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x(x^2+1)^2}$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{dt}{t(t+1)^2}$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}-\dfrac{1}{(t+1)^2}\right)\,dt$ $=\dfrac{1}{2}\left(\log |t|-\log|t+1|+\dfrac{1}{t+1}\right)+C$ $=\dfrac{1}{2}\left(\log x^2-\log(x^2+1)+\dfrac{1}{x^2+1}\right)+C$
（ $C$ は積分定数）となる．

結果の見た目は少し違うけど， $\dfrac{1}{x^2+1}=1-\dfrac{x^2}{x^2+1}$ だから定数差しなかく，同じ結果である．